Quader und Gerade h


\(\\\)

Aufgabe 1 Dreieck ABC

\(\quad\) my image

\(\\\)

\( \quad \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \)

\( \quad \vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} =\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

\(\\\)

Ist das Skalarprodukt aus \(\vec{BA}\) und \(\vec{BC}\) gleich Null, so verlaufen die beiden Vektoren orthogonal zueinander.

\( \quad \begin{align} \vec{BA} \circ \vec{BC} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] \vec{BA} \circ \vec{BC} & = 0 \cdot (-4 )+ (-4) \cdot 0 + 0 \cdot 0 \\[6pt] \vec{BA} \circ \vec{BC} & = 0 \end{align} \)

\(\\\)

Das Dreieck hat einen rechten Winkel in der Ecke \(B\).

\(\\\)

Sind 2 Vektoren gleich lang, so ist das Dreieck gleichschenklig. Da die die Strecke \(\overline{AC}\) die Hypothenuse bildet, muss diese die längste Seite sein. Wir nehmen also an, dass Vektor \(\vec{BA}\) die gleiche Länge hat wie der Vektor \(\vec{BC}\) und sagen

\( \quad \begin{align} \bigl| \vec{BA} \bigl| & = \bigl| \vec{BC}\bigl| \\[8pt] \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 0^2} &= \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 0^2} \\[8pt] 4 & = 4 \end{align} \)

\(\\\)

Das Ergebnis bestätigt unsere Annahme.

\(\\\)

Die Fläche des Dreieck können wir hier berechnen mit

\( \quad \displaystyle{\frac{g \cdot h}{2}} =\displaystyle{\frac{\bigl| \vec{BA} \bigl| \cdot \bigl| \vec{BC} \bigl|}{2} } =\displaystyle{\frac{4 \cdot 4}{2}} = 8 \text{ FE} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Lage Gerade g zur Geraden h

\(\quad\) my image

\( \quad \begin{align} g: \vec{x} & = \vec{a} + r \cdot \vec{AC} \\[8pt] \vec{x} & = \vec{a} + r \cdot (\vec{c} - \vec{a} ) \\[8pt] \vec{x} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +r \cdot \begin{bmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{bmatrix} \\[8pt] \vec{x} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)

\(\\\)

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) haben alle den Wert \(x_3=0\) und liegen damit in der \(x_1 x_2\)-Ebene. Die Gerade \(g\) verläuft in dieser Ebene, während die Gerade \(h\) in \(x_3\)-Richtung verläuft. Also können die beiden Geraden nicht parallel zueinander verlaufen, sondern müssen windschief zueinander liegen oder sich schneiden. Falls sie sich schneiden, müsste der Punkt \(B\) auf der Geraden \(g\) liegen.

\(\\\)

Das überprüfen wir mit der Punktprobe mit dem Punkt \(B\):

\( \quad \begin{align} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} &= \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \quad \displaystyle{\Biggr|} \; - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)

\(\\\)

Hier ergibt sich ein Widerspruch mit \(r=1\), denn

\( \quad \begin{array}{r r c l} \textrm{I} & \; 0 & \not= & 1 \; \cdot \; (-4) \\[5pt] \textrm{II} & \; 4 & = & 1 \; \cdot \; 4 \\[5pt] \textrm{III} & \; 0 & = & 1 \; \cdot \; 0 \end{array} \)

\(\\\)

Also liegt der Punkt \(B\) nicht auf der Geraden \(g\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Abstand zweier Geraden

Den Abstand windschiefer Geraden berechnen wir mit

\( \quad d = \bigl| (\vec{q}-\vec{p}) \cdot n_0\bigl| \)

\(\\\)

ausgehend von 2 Geraden

\( \quad \begin{align} g: \vec{x} & = \vec{p} + r \cdot \vec{u} \\[6pt] k: \vec{x} &= \vec{q} + r \cdot \vec{v}. \end{align} \)

\(\\\)

Dabei wählen wir

\( \quad \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} \\[6pt] \vec{q} & = \vec{b} \\[6pt] \vec{u} & = \vec{AC} \\[6pt] \vec{v} & = \vec{BH} \end{align} \)

\(\\\)

und berechnen

\( \quad \begin{align} \vec{n} & = \vec{u} \times \vec{v} \\[8pt] \vec{n} & = \vec{AC} \times \vec{BH} \\[8pt] \vec{n} & = \vec{AC} \times (\vec{h}- \vec{b}) \\[8pt] \vec{n} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \times \begin{bmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{bmatrix} \\[8pt] \vec{n} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \times \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ -4 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)

\(\\\)

wie folgt:

Die beiden Vektoren werden paarweise 2-mal untereinander geschrieben. Die erste und die letzte Zeile werden gestrichen. Dann wird über Kreuz multipliziert und jeweils die blaue Diagonale (Hauptdiagonale) minus die rote Diagonale (Nebendiagonale) gerechnet.

my image

Der Normalenvektor ist \( \vec{n}= \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 12 \\ 12 \\ 32 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

Ein anderer Normalenvektor, um den Faktor 4 verkleinert, wäre

\( \quad \vec{n}= \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \)

Wir wählen diesen zur weiteren Berechnung.

Für die Abstandsberechnung benötigen wir den Einheitsvektor \(\vec{n_0}\) des Normalenvektor \(\vec{n}\). Das heißt, den Normalenvektor, der die Länge 1 hat und berechnen ihn mit

\( \quad \begin{align} \vec{n_0} & = \frac{1}{\bigl| \vec{n}\bigl|} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{n_0} & = \frac{1}{\sqrt{3^2 + 3^2 + 8^2}} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[8pt] \vec{n_0} & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)

\(\\\)

Nun berechnen wir den Abstand:

\( \quad \begin{align} d & = \bigl| (\vec{q}-\vec{p}) \circ n_0\bigl| \\[8pt] d & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot \begin{vmatrix} \begin{bmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{bmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] d & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] d & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot \bigl| (0 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 8)\bigl| \\[8pt] d & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot \bigl| 12\bigl| \\[8pt] d & = \frac{1}{\sqrt{82}} \cdot12 \\[8pt] d & = 1{,}325 \text{ LE} \end{align} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 4 Fläche des Dreiecks

Die Fläche des Dreiecks berechnen wir mit der Formel

\( \quad \begin{align} A &= \frac{1}{2} \cdot \bigl| (\vec{AC} \times \vec{AH}\bigl| \\[8pt] A & = \frac{1}{2} \cdot \bigl| (\vec{AC} \times (\vec{h}-\vec{a})\bigl| \\[8pt] A & = \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \times \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -4 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \end{align} \)

\(\\\)

Das Kreuzprodukt berechnen wir wie oben dargestellt.

\( \quad \begin{align} A & = \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{ r c l } 4 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-4) - (-4) \cdot 3 \\ -4 \cdot 0 - 4 \cdot (-4) \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] A &= \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 12 \\ 12 \\ 16 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[8pt] A & = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{12^2 + 12^2 + 16^2} \\[8pt] A & = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{544} \\[8pt] A & = 2\sqrt{34} \approx 11{,}66 \text{ FE} \end{align} \)

\(\\\)